瞭解神秘的 ZK-STARKs

上一篇關於zkSNARK扯到太多數學式，導致很難入手，這次介紹STARK會盡量減少數學式，以原理的方式跟大家介紹。

STARK被視為新一代的SNARK，除了速度較快之外，最重要的是有以下好處

1. 不需要可信任的設置（trusted setup），以及

2. 抗量子攻擊

但也沒這麼完美，STARK的證明量(proof size)約40-50KB，太佔空間，相較於SNARK只有288 bytes，明顯大上幾個級距。此外，這篇論文發佈約兩年的時間，就密碼學的領域來說，還需要時間的驗證。

STARK的S除了簡潔（Succinct）也隱含了有擴展性（Scalable），而T代表了透明性（Transparency），擴展性很好理解，透明性指的是利用了公開透明的算法，可以不需要有可信任的設置來存放秘密參數。
SNARK跟STARK都是基於多項式驗證的零知識技術。差別在於，如何隱藏資訊、如何簡潔地驗證跟如何達到非互動性。

快轉一下SNARK是如何運作的。
Alice有多項式P(x)、Bob有秘密 s，Alice不知道 s、Bob不知道 P(x)的狀況下，Bob可以驗證P(s)。藉由同態隱藏（Homomorphic Hindings）隱藏Bob的 s --> H(s)，藉由QAP/Pinocchio達到了簡潔地驗證，然後把H(s)放到CRS（Common Reference String），解決了非互動性。細節可以參考之前的文章。

問題轉換

零知識的第一步，需要先把「問題」轉成可以運算的多項式去做運算。這一小節，只會說明怎麼把問題轉成多項式，至於如何轉換的細節，不會多琢磨。

問題 --> 限制條件 --> 多項式

在SNRAK跟STARK都是藉由高維度的多項式來作驗證。也就是若多項式為： $x^3 + 3x^2 + 3 = 0$，多項式解容易被破解猜出，若多項式為 $x^{2000000} + x^{1999999} + ...$則難度會高非常多。

第一步，先把想驗證的問題，轉換成多項式。

這邊以Collatz Conjecture為例子，什麼是Collatz Conjecture呢？（每次都用Fibonacci做為例子有點無聊 XD）

1. 若數字為偶數，則除以2

2. 若數字為奇數，則乘以3再加1 (3n+1)

任何正整數，經由上述兩個規則，最終結果會為 1 。（目前尚未被證明這個猜想一定成立，但也還未找出不成立的數字）

舉例來說：

52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.

把每個運算過程的結果紀錄起來，這個叫做執行軌跡（Execution Trace），如上述52->26->...->1。接著我們把執行軌跡轉換成多項式（由執行軌跡轉成多項式不是這裡的重點，這裡不會贅述，細節可以參考StarkWare的文章）如下

https://medium.com/starkware/arithmetization-i-15c046390862

 合成多項式

接著就把這四個限制條件的多項式合成為一個，這個最終的多項式就叫做合成多項式（composition polynomial），而這個合成多項式就是後面要拿來驗證的多項式。

驗證

就像一開始提的，SNARK跟STARK都是使用高維度多項式，接著，來介紹STARK是藉由哪些方式，達到零知識的交換、透明性(Transparency)跟可擴展性(Scalability)。

修改多項式維度

這一步是為了後面驗證做準備的。在驗證過程使用了一個技巧，將多項式以2的次方一直遞減為常數項（D, D/2, D/4 ... 1），大幅減低了驗證的複雜度。因此，需要先將多項式修改為$2^n$維度

假設上述的每個限制多項式（不是合成多項式喔）為$Cj(x)$，維度為 Dj，D >= Dj 且 D 等於$2^n$，為了達到 D 維度，乘上一個維度（D-Dj）的多項式，

$$Cj(x)(αj * x^{D-Dj} - βj)$$

所以最終的合成多項式，如下

$$\sum_{j=0}^{k-1}Cj(x)(αj * x^{D-Dj} - βj)$$

其中的αj、βj是由驗證者(verifier)所提供，所以最終的多項式是由證明方(prover)跟驗證方所共同組成。

* 這小節的重點是將多項式修改成D維度，覺得多項式太煩可忽略

FRI

這是本篇的重點之一。

FRI的全名是"Fast RS IOPP"（RS = "Reed-Solomon", IOPP = "Interactive Oracle Proofs of Proximity"）。藉由FRI可以達到簡潔地驗證多項式。在介紹FRI之前，先來討論要怎麼證明你知道多項式 f(x) 為何？

RS糾刪碼：

糾刪碼的概念是把原本的資料作延伸，使得部分資料即可以做驗證與可容錯。其方式是將資料組成多項式，藉由驗證多項式來驗證資料是否正確。舉例來說，有d個點可以組成 d-1 維的多項式 y = f(x)，藉由驗證 f(z1) ?= y，來確定 z1是否是正確資料。

回到上面的問題，怎麼證明知道多項式？最直接的方式就是直接帶入點求解。藉由糾刪碼的方式，假設有d+1個點，根據Lagrange插值法，可以得到一個 d 維的多項式 h(x)，如果如果兩個多項式在（某個範圍內）任意 d 點上都相同（ f(z) = h(z), z = z1, z2...zd），即可證明我知道 f(x)。但是我們面對的是高維度的多項式，d 是1、2百萬，這樣的測試太沒效率，且不可行。FRI 解決了這個問題，驗證次數由百萬次變成數十次。

降低複雜度

假設最終的合成多項式為 f(x)，藉由將原本的1元多項式改成2元多項式，以減少多項式的維度。假設 $f(x) = 1744 * x^{185423}$，加入第二變數 y，使$y = x^{1000}$，所以多項式可改寫為$g(x,y) = 1744*x^{423}*y^{185}$。藉由這樣的方式，從本來10萬的維度變成1千，藉由這種技巧大幅降低多項式的維度。在FRI目前的實做，是將維度對半降低$y=x^2$（$f(x) = g(x, x^2)$）。

此外，還有另一個技巧，將一個多項式拆成兩個較小的多項式，把偶數次方跟奇數次方拆開，如下：

$$f(x)= g(x^2) + xh(x^2)$$

假如 

$$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 $$

$$g(x^2)  = a_0 + a_2x^2 +  a_4x^4,  　　（g(x)  = a_0 + a_2x +  a_4x^2）$$

$$h(x^2) = a_1x  + a_3x^2 + a_5x^4, 　　（h(x) = a_1  + a_3x + a_5x^2 ）$$

藉由這兩個方法，可以將高維度的多項式拆解，重複地將維度對半再對半，以此類推到常數項。而FRI協議在流程上包含兩階段 - 「提交」跟「查詢」。

提交階段：
提交階段就如同上述過程，將多項式拆解後，由驗證者提供一亂數，組成新的多項式，再繼續對多項式拆解，一直重複。

$f(x) = f_0(x) = g_0(x^2) + xh_0(x^2)$

$==> f_1(x) = g_0(x) + α_0h_0(x), $ 　 <- $α_0$（驗證者提供）

$==> f_2(x) = g_1(x) + α_1h_1(x), $  　<- $α_1$（驗證者提供）

$==>$　　　　　 $ ... $　　　　　　　　　　　　　

查詢階段：

這個階段要驗證證明者所提交的多項式 $f_0(x), f_1(x), f_2(x), ...$ 是否正確，這邊運用一個技巧，帶入任意數 z 及 -z（這代表在選域的時候，需滿足 L²= {x²：x ∊ L}，這邊不多提）。所以可以得

$$f_0(z) = g_0(z^2) + zh_0(z^2)$$

$$f_0(-z) = g_0(z^2) - zh_0(z^2)$$

藉由兩者相加、相減，及可得$g_0(z^2)$、$h_0(z^2)$，則可以計算出$f_1(z^2)$，再推導出$f_1(x)$，以此類推驗證證明者傳來的多項式。

Interactive Oracle Proofs (IOPs)

藉由FRI（RS糾刪碼、IOPs），將驗證次數由數百萬降至20-30次（$log_2 d$），達到了簡潔地驗證。不過，我們解決了複雜度，但還有互動性！

* 與SNARK比較：SNARK在驗證方面利用了QAP跟Pinocchio協定。

非互動性

藉由Micali建構（Micali construction）這個概念來解釋如何達到非互動的驗證。Micali建構包括兩部分，PCPs（Probabilistically checkable proof）跟雜湊函數。PCPs 這是一個隨機抽樣檢查的證明系統。簡單來說，證明者產出一個大資料量的證明（long proof），經由隨機抽樣來驗證這個大資料量的證明。過程大約是這樣，證明者產出證明𝚿，而驗證者隨機確認 n 個點是否正確。

在STARK，我們希望達到：1.小的證明量，2.非互動。隨機抽樣可以讓達到小的證明量，那互動性呢? 想法很簡單，就是預先抽樣，把原本PCPs要做的事先做完，然後產出只有原本證明 𝚿 抽樣出的幾個區塊當作證明。但想也知道，一定不會是由證明者抽樣，因為這樣就可以作假。這裡是使用 Fiat-Shamir Heuristic 來作預先取樣。

首先，先把證明 𝚿 組成 merkle tree，接著把 merkle root 做雜湊可得到一亂數  𝛒，而 𝛒 就是取樣的索引值。將利用𝛒取出來的區塊證明、區塊證明的 merkle tree 路徑跟 merkle root, 組一起，即為STARK 證明 𝛑。

到目前，只使用雜湊函數這個密碼學的輕量演算法。而雜湊函數的選擇是這個證明系統唯一的全域參數（大家都需要知道的），不像是 SNARK 有 KCA 使用的(α, β, 𝛾)等全域的秘密參數，再藉由 HH（同態隱藏）隱藏這些資訊來產生 CRS。因為證明的驗證是靠公開的雜湊函數，並不需要預先產生的秘密，因此 STARK 可以達到透明性，也不用可信任的設置。

接著，將FRI中需要互動的部分（驗證者提供 α 變數），使用上述的  PCP + Fiat-Shamir Heuristic， 即可達到非互動性。

* 與SNARK比較： SANRK 的非互動性是將所需的全域參數放到CRS中，因為全域參數是公開的，所以CRS裡的值使用了 HH 做隱藏。

MIMC

大部分證明系統，會使用算數電路來實作，此時，電路的複雜程度就關係到證明產生的速度。 STARK 的雜湊函數選用了電路複雜度較簡單的MIMC，計算過程如下：

https://vitalik.ca/general/2018/07/21/starks_part_3.html

這樣的計算有另一個特性，就是無法平行運算，但卻又很好驗證，因此也很適合VDF的運算。Vitalik有一個使用MIMIC作為VDF的提案。
ps. 反向運算比正向慢百倍，所以會是反向計算，正向驗證



從上面的解釋，可以理解為什麼STARK不需要可信任設置，至於為什麼能抗量子？因為SNARK 中使用了 HH 來隱藏秘密，而 HH 是依靠橢圓曲線的特性，但橢圓曲線沒有抗量子的特性（也就是可以從公鑰回推私鑰）。而STARK在整個過程中只使用了雜湊函數，而目前還沒有有效的演算法能破解雜湊函數，因此可以抵抗抗量子攻擊。


有錯誤或是不同看法，歡迎指教

參考：
StarkDEX Deep Dive: the STARK Core Engine
STARK 系列文：
  STARK Math: The Journey Begins
  Arithmetization I
  Arithmetization II
  Low Degree Testing
  A Framework for Efficient STARKs
Vitalik 系列文：
  STARKs, Part I: Proofs with Polynomials
  STARKs, Part II: Thank Goodness It's FRI-day
  STARKs, Part 3: Into the Weeds
ZK-STARKs — Create Verifiable Trust, even against Quantum Computers
https://ethereum.stackexchange.com/questions/59145/zk-snarks-vs-zk-starks-vs-bulletproofs-updated